\left(\begin{matrix}
n\
0
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
n\
n
\end{matrix}\right)
:= 1
\left(\begin{matrix}
n\
k
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
n-1\
k-1
\end{matrix}\right)
+
\left(\begin{matrix}
n-1\
k
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
n\
1
\end{matrix}\right) = n
\left(\begin{matrix}
n\
2
\end{matrix}\right) = \frac{n(n - 1)}{2}
\left(\begin{matrix}
n\
0
\end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix}
n\
1
\end{matrix}\right) + … +
\left(\begin{matrix}
n\
n
\end{matrix}\right) = 2^{n}
\left(\begin{matrix}
n\
k
\end{matrix}\right) =
\frac{n}{k}
\left(\begin{matrix}
n -1\
k -1
\end{matrix}\right)
\binom{k}{k} + \binom{k+1}{k} + … + \binom{n}{k} = \sum\limits_{t=k}^{n} \binom{t}{k} = \binom{n + 1}{k + 1}
\binom{n}{1} + 2 \binom{n}{2} + … + n \binom{n}{n} = n ; 2^{n-1}
\binom{n}{0}^{2} + \binom{n}{1}^{2} + … + \binom{n}{n}^{2} = \binom{2n}{n}
(1 + x)^n= \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}
[[Vandermodes identity]] Alternating Sum is = 0 (one of the identities of [[Binominalkoeffizenten|Binominalkoeffizent]] from DisMat) # Satz > Ist $M$ eine endliche [[Menge]] mit $n$ Elementen, dann gilt für jedes $k \in \mathbb{N}$ mit $k \leq n$ : $M$ besitzt genau $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ k-elementige [[Teilmenge|Teilmengen]]. siehe auch: [[Fakultät]] ## Von [[Discrete Mathematics MOC]] ![[IMG_20251014_113341-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_114229-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_114845-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_115205-2-1.jpg|800]] ![[IMG_20251014_115806-2-1.jpg|800]]